一般来说，时间复杂度和空间复杂度是根据算法的资源使用量随输入大小的变化来衡量算法效率的方法。让我们回顾一下基础知识和一些常见示例。

时间复杂度

时间复杂度描述了基于输入大小（通常表示为 n）完成算法所需的时间。

1. 恒定时间 – O(1):

   • 算法的执行时间不随输入大小变化。
   • 示例：通过索引访问数组中的元素，如 arr[5].

2. 对数时间 – O(log n):

   • 随着输入大小的增加，算法的执行时间呈对数增长，这意味着每一步都会将问题分成两半。
   • 示例：对排序数组进行二分搜索。

3. 线性时间 – O(n):

   • 算法的执行时间随着输入大小线性增长。
   • 示例：遍历一次包含 n 个元素的数组。

4. 线性时间 – O(n log n):

   • 在高效排序算法中很常见，其中每个元素都以对数方式处理，通常是由于递归除法和线性合并或处理。
   • 示例：归并排序、快速排序。

5. 二次时间 – O(n²):

   • 执行时间与输入大小的平方成正比。
   • 示例：嵌套循环，例如将数组中的每个元素与其他每个元素进行比较。

6. 立方时间 – O(n³):

   • 执行时间随着输入大小的立方而增长。很少见，但可能出现在具有三个嵌套循环的算法中。
   • 示例：使用暴力算法解决某些矩阵运算。

7. 指数时间 – O(2^n):

   • 输入中每增加一个元素，执行时间就会加倍，通常来自解决所有可能组合中的子问题的递归算法。
   • 示例：斐波那契数列的简单解决方案，其中每个调用都会导致另外两个调用。

8. 阶乘时间 – O(n!):

   • 执行时间随着输入大小呈阶乘增长。通常来自涉及生成所有可能的排列或组合的算法。
   • 示例：用蛮力解决旅行商问题。

空间复杂度

空间复杂度衡量算法相对于输入大小使用的内存量。

1. 恒定空间 – O(1):

   • 无论输入大小如何，算法都会使用固定数量的内存。
   • 示例：存储一些变量，例如整数或计数器。

2. 对数空间 – O(log n):

   • 内存使用量呈对数增长，这通常出现在递归算法中，每一步将问题减半。
   • 示例：递归二分搜索（由于调用堆栈而导致空间复杂度）。

3. 线性空间 – O(n):

   • 内存使用量随着输入大小线性增长，这在创建额外的数组或数据结构来存储输入时很常见。
   • 示例：创建大小为 n 的数组的副本。

4. 二次空间 – O(n²):

   • 内存使用量随着输入大小的平方而增长，例如存储大小为 n x n 的 2D 矩阵时。
   • 示例：存储具有 n 个节点的图的邻接矩阵。

5. 指数空间 – O(2^n):

   • 内存使用量随着输入大小呈指数级增长，通常在为输入的每个可能子集存储数据的递归解决方案中。
   • 示例：具有许多重叠子问题的递归算法中的记忆。

实际例子

• 线性时间 (O(n)) 和线性空间 (O(n)):

  • 迭代数组并将每个元素存储在新数组中的函数。

• 二次时间 (O(n²)) 和常数空间 (O(1)):

  • 在数组上有两个嵌套循环的函数，但除了几个变量之外不需要额外的存储。

分析复杂性

分析代码的时间和空间复杂度时：

1. 识别循环：嵌套循环通常会增加复杂性（例如，一个循环给出 ( O(n) )；两个嵌套循环给出 ( O(n^2) )）。
2. 寻找递归：递归调用可能会导致指数时间和空间复杂度，具体取决于分支因子和递归深度。
3. 考虑数据结构：使用额外的数据结构（如数组、列表或哈希映射）可能会影响空间复杂度。

一般提示

• 时间复杂度是将操作计数作为输入大小的函数。
• 空间复杂度是关于计算所需的额外内存量。

通过评估这些因素，您可以根据输入大小估计算法的执行效率以及消耗的内存量。